Цель работы

Исследовать построение математической модели задачи преследования и определить стратегию движения, обеспечивающую перехват цели.

Ситуация формулируется следующим образом: катер береговой охраны движется в условиях ограниченной видимости и преследует лодку браконьеров. В момент кратковременного прояснения лодка фиксируется на расстоянии \(k\) км, после чего снова скрывается и продолжает прямолинейное движение в неизвестном направлении. Скорость катера превосходит скорость лодки в \(n\) раз. Требуется определить такую траекторию катера, которая приведёт к их встрече.

Задание

1. Выполнить аналитический вывод системы дифференциальных уравнений при условии \(v_{\text{катера}} = n v_{\text{лодки}}\).
2. Построить траектории катера и лодки для двух вариантов начальных условий.
3. По графическому представлению определить точку пересечения траекторий.

Исходные обозначения

Положим \(t_0 = 0\) — момент обнаружения лодки.

В этот момент:

• лодка располагается в точке \(X_0 = 0\);
• катер находится на расстоянии \(k\) от неё.

Переходим к полярной системе координат:

• полюс совпадает с точкой обнаружения лодки;
• полярная ось направлена через положение катера.

Определение радиуса смены режима движения

Найдём расстояние \(x\), при котором катер и лодка окажутся на одинаковом расстоянии от полюса.

За время \(t\):

• лодка проходит путь \(x\),
• катер проходит путь \(x-k\) либо \(x+k\).

Из равенства времён движения получаем два варианта начального радиуса:

• case = plus \[ x_1 = \frac{k}{n+1}, \quad \theta_0 = 0 \]

• case = minus \[ x_2 = \frac{k}{n-1}, \quad \theta_0 = -\pi \]

Разложение скорости и система уравнений

После достижения равного радиуса катер должен сохранять радиальную скорость лодки и одновременно изменять направление движения.

Разложим скорость катера:

• радиальная компонента
  \[ v_r = \frac{dr}{dt} \]
• тангенциальная компонента
  \[ v_\tau = r \frac{d\theta}{dt} \]

Поскольку полная скорость катера равна \(nv\), а радиальная скорость должна совпадать со скоростью лодки \(v\), имеем:

\[ v_\tau = \sqrt{(nv)^2 - v^2} = v\sqrt{n^2 - 1}. \]

Получаем систему:

\[ \begin{cases} \frac{dr}{dt} = v, \\ r\frac{d\theta}{dt} = v\sqrt{n^2 - 1}. \end{cases} \]

Уравнение траектории

Исключая время \(t\), приходим к уравнению:

\[ \frac{dr}{d\theta} = \frac{r}{\sqrt{n^2 - 1}}. \]

Его решение задаёт логарифмическую спираль — характерную траекторию катера в полярных координатах.

Исходные данные

Для расчётов принято:

• \(k = 20\) км,
• \(n = 5\).

Необходимо построить траектории и определить точку перехвата.

Базовый эксперимент: case = plus

Наблюдения

• катер движется по логарифмической спирали;
• радиус \(r\) возрастает монотонно с увеличением угла \(\theta\);
• траектория лодки соответствует лучу в полярной системе координат.

Базовый эксперимент: case = minus

Анализ

• стартовое значение радиуса больше;
• вся траектория смещена наружу;
• геометрический тип кривой сохраняется.

Исследование влияния параметра \(n\)

Из выражения

\[ \frac{dr}{d\theta} = \frac{r}{\sqrt{n^2 - 1}} \]

следует, что интенсивность роста определяется величиной \(1/\sqrt{n^2 - 1}\).

Следовательно:

• при малых \(n\) радиус увеличивается быстрее;
• при больших \(n\) спираль раскручивается медленнее;
• кривые становятся более вытянутыми.

Метрика scale_ratio

Определим показатель:

\[ \text{scale\_ratio} = \frac{r_{\text{final}}}{\max(r_{\text{boat}})}. \]

Интерпретация

• при малых \(n\) значение значительно превышает 1;
• при увеличении \(n\) показатель снижается;
• при больших \(n\) траектории становятся близкими по масштабу.

Для режима case=minus значения больше из-за увеличенного начального радиуса.

Время вычислений

Результаты

• среднее время интегрирования порядка \(6 \times 10^{-4}\) сек;
• зависимость от \(n\) практически отсутствует;
• небольшие вариации обусловлены адаптивным шагом метода.

Выводы

1. Траектория катера описывается логарифмической спиралью.
2. Параметр \(n\) определяет скорость радиального роста.
3. Начальное условие влияет на масштаб, но не изменяет форму кривой.
4. Численный метод демонстрирует устойчивость и низкие вычислительные затраты.