Лабораторная работа № 2
2026-02-21
Исследовать построение математической модели задачи преследования и определить стратегию движения, обеспечивающую перехват цели.
Ситуация формулируется следующим образом: катер береговой охраны движется в условиях ограниченной видимости и преследует лодку браконьеров. В момент кратковременного прояснения лодка фиксируется на расстоянии \(k\) км, после чего снова скрывается и продолжает прямолинейное движение в неизвестном направлении. Скорость катера превосходит скорость лодки в \(n\) раз. Требуется определить такую траекторию катера, которая приведёт к их встрече.
Положим \(t_0 = 0\) — момент обнаружения лодки.
В этот момент:
Переходим к полярной системе координат:
Найдём расстояние \(x\), при котором катер и лодка окажутся на одинаковом расстоянии от полюса.
За время \(t\):
Из равенства времён движения получаем два варианта начального радиуса:
case = plus \[ x_1 = \frac{k}{n+1}, \quad \theta_0 = 0 \]
case = minus \[ x_2 = \frac{k}{n-1}, \quad \theta_0 = -\pi \]
После достижения равного радиуса катер должен сохранять радиальную скорость лодки и одновременно изменять направление движения.
Разложим скорость катера:
Поскольку полная скорость катера равна \(nv\), а радиальная скорость должна совпадать со скоростью лодки \(v\), имеем:
\[ v_\tau = \sqrt{(nv)^2 - v^2} = v\sqrt{n^2 - 1}. \]
Получаем систему:
\[ \begin{cases} \frac{dr}{dt} = v, \\ r\frac{d\theta}{dt} = v\sqrt{n^2 - 1}. \end{cases} \]
Исключая время \(t\), приходим к уравнению:
\[ \frac{dr}{d\theta} = \frac{r}{\sqrt{n^2 - 1}}. \]
Его решение задаёт логарифмическую спираль — характерную траекторию катера в полярных координатах.
Для расчётов принято:
Необходимо построить траектории и определить точку перехвата.
Из выражения
\[ \frac{dr}{d\theta} = \frac{r}{\sqrt{n^2 - 1}} \]
следует, что интенсивность роста определяется величиной \(1/\sqrt{n^2 - 1}\).
Следовательно:
Определим показатель:
\[ \text{scale\_ratio} = \frac{r_{\text{final}}}{\max(r_{\text{boat}})}. \]
Для режима case=minus значения больше из-за увеличенного начального радиуса.